一、学习目标
知识目标
- 理解有理数、数轴、相反数、绝对值等概念。
- 掌握有理数加、减、乘、除和乘方的运算法则。
- 熟悉有理数混合运算的顺序。
能力目标
- 能够正确判断运算结果的符号。
- 能够利用运算律进行简便计算。
- 能够发现并避免常见计算错误。
学习主线
先判断符号，再计算绝对值；先明确运算顺序，再动笔计算。
二、有理数基本概念
整数和分数统称为有理数。有理数都可以写成两个整数之比的形式。
有理数可以表示为：a / b，其中 a、b 为整数，且 b ≠ 0。
| 类别 | 示例 | 说明 |
|---|---|---|
| 正整数 | 1，2，3 | 大于0的整数 |
| 负整数 | −1，−2，−3 | 小于0的整数 |
| 零 | 0 | 既不是正数，也不是负数 |
| 正分数 | 1/2，0.6，25% | 大于0的分数或有限、循环小数 |
| 负分数 | −2/3，−1.5 | 小于0的分数 |
注意
无限不循环小数，如 π、√2，不是有理数。
三、数轴与大小比较
数轴由三个基本要素组成：原点、正方向、单位长度。
数轴上的规律
- 数轴上右边的数总比左边的数大。
- 正数在原点右侧，负数在原点左侧。
- 正数大于0，0大于负数。
例题
比较大小：−5，−2，0，3。
−5 ＜ −2 ＜ 0 ＜ 3
两个负数比较大小
两个负数比较时，绝对值大的数反而小。
因为 |−8| ＞ |−3|，所以 −8 ＜ −3。
口诀
两个负数比大小，绝对值大的反而小。
四、相反数与绝对值
1. 相反数
只有符号不同的两个数互为相反数。
a 的相反数是 −a；0 的相反数仍是 0。
例如：5 与 −5 互为相反数，−3 的相反数是 3。
2. 绝对值
一个数在数轴上到原点的距离，叫作这个数的绝对值。
当 a ＞ 0 时，|a| = a；
当 a = 0 时，|a| = 0；
当 a ＜ 0 时，|a| = −a。
当 a = 0 时，|a| = 0；
当 a ＜ 0 时，|a| = −a。
例题
|−7| = 7，|4| = 4，|0| = 0。
易错提醒
绝对值表示距离，因此绝对值一定大于或等于0，不可能是负数。
五、有理数加法
1. 同号两数相加
取相同的符号，并把绝对值相加。
3 + 5 = 8
(−3) + (−5) = −8
(−3) + (−5) = −8
2. 异号两数相加
用较大的绝对值减去较小的绝对值，结果取绝对值较大数的符号。
7 + (−3) = 4
3 + (−7) = −4
5 + (−5) = 0
3 + (−7) = −4
5 + (−5) = 0
3. 加法运算律
| 名称 | 表达式 | 用途 |
|---|---|---|
| 交换律 | a + b = b + a | 调整加数顺序 |
| 结合律 | (a + b) + c = a + (b + c) | 优先凑零、凑整 |
例题
计算：(−8) + 15 + 8
(−8) + 8 + 15 = 0 + 15 = 15
加法口诀
同号相加，符号不变，绝对值相加；异号相加，大减小，符号跟着绝对值大的数。
六、有理数减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
a − b = a + (−b)
例题
5 − 8 = 5 + (−8) = −3
5 − (−8) = 5 + 8 = 13
−4 − 7 = −4 + (−7) = −11
−4 − (−7) = −4 + 7 = 3
5 − (−8) = 5 + 8 = 13
−4 − 7 = −4 + (−7) = −11
−4 − (−7) = −4 + 7 = 3
减法口诀
减法变加法，减数变相反数。被减数不变。
加减混合运算
先把减法统一改写成加法，再利用交换律和结合律计算。
例题
−3 + 5 − 7 + 2
= −3 + 5 + (−7) + 2
= (−3 − 7) + (5 + 2)
= −10 + 7 = −3
= −3 + 5 + (−7) + 2
= (−3 − 7) + (5 + 2)
= −10 + 7 = −3
七、有理数乘法
1. 符号法则
同号得正，异号得负。
| 运算 | 结果符号 | 示例 |
|---|---|---|
| 正 × 正 | 正 | 3 × 4 = 12 |
| 负 × 负 | 正 | (−3) × (−4) = 12 |
| 正 × 负 | 负 | 3 × (−4) = −12 |
| 负 × 正 | 负 | (−3) × 4 = −12 |
2. 多个有理数相乘
- 负因数有偶数个，积为正。
- 负因数有奇数个，积为负。
- 只要有一个因数为0，积就是0。
(−2) × (−3) × 4 = 24
(−2) × (−3) × (−4) = −24
(−2) × (−3) × (−4) = −24
3. 乘法运算律
| 名称 | 表达式 |
|---|---|
| 交换律 | ab = ba |
| 结合律 | (ab)c = a(bc) |
| 分配律 | a(b + c) = ab + ac |
乘法口诀
奇负得负，偶负得正，有零得零。
八、有理数除法
除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。
a ÷ b = a × 1/b，其中 b ≠ 0。
例题
6 ÷ (−3/2)
= 6 × (−2/3)
= −4
= 6 × (−2/3)
= −4
倒数
乘积为1的两个数互为倒数。
- 2/3 的倒数是 3/2。
- −5 的倒数是 −1/5。
- 0没有倒数。
特别注意
0可以作被除数，但不能作除数。0 ÷ a = 0（a ≠ 0），而 a ÷ 0 没有意义。
九、有理数的乘方
几个相同因数相乘，可以写成乘方。
aⁿ 中，a 叫底数，n 叫指数，aⁿ 叫幂。
负数乘方的符号
- 负数的偶次幂是正数。
- 负数的奇次幂是负数。
(−2)⁴ = 16
(−2)³ = −8
(−2)³ = −8
括号决定底数
(−2)² = 4，但 −2² = −(2²) = −4。没有括号时，负号不属于底数。
特殊乘方
a¹ = a
当 a ≠ 0 时，a⁰ = 1
当 a ≠ 0 时，a⁰ = 1
十、有理数混合运算
混合运算的关键不是算得快，而是先把运算顺序看清楚。
- 先算乘方。
- 再算乘除。
- 最后算加减。
- 同级运算按照从左到右的顺序进行。
- 有括号时，先算括号内的内容。
口诀
先乘方，再乘除，最后加减；有括号，先括号；同级运算从左到右。
例题
计算：−2² + 6 ÷ (−3) × 2
−2² + 6 ÷ (−3) × 2
= −4 + (−2) × 2
= −4 − 4
= −8
= −4 + (−2) × 2
= −4 − 4
= −8
同级运算不能随意改变顺序
12 ÷ 3 × 2 = 4 × 2 = 8，不能先算 3 × 2。
十一、简便运算技巧
1. 凑零
优先把互为相反数的数放在一起。
−8 + 13 + 8 = (−8 + 8) + 13 = 13
2. 凑整
把和为整数的数优先结合。
2.7 − 4.5 + 7.3 = 10 − 4.5 = 5.5
3. 使用分配律
把复杂数拆成容易计算的数。
99 × (−12) = (100 − 1) × (−12) = −1188
4. 提取公因数
逆用分配律，减少重复计算。
(−3/5) × 8 + (3/5) × 3
= (3/5) × (−8 + 3) = −3
= (3/5) × (−8 + 3) = −3
十二、常见易错点
| 易错类型 | 错误表现 | 正确方法 |
|---|---|---|
| 异号加法符号错误 | 把 −8 + 3 算成 5 | 绝对值相减，结果取 −8 的负号，答案为 −5 |
| 减去负数未变号 | 把 5 − (−3) 算成 2 | 减负数等于加正数，答案为 8 |
| 乘方漏看括号 | 认为 −3² = 9 | −3² = −9，只有 (−3)² 才等于 9 |
| 同级运算顺序错误 | 12 ÷ 3 × 2 先算 3 × 2 | 乘除同级，从左到右，答案为 8 |
| 去括号漏变号 | −(a − b + c) 只变第一项 | 括号前为负号，括号内每一项都变号 |
| 错误使用分配律 | a ÷ (b + c) = a ÷ b + a ÷ c | 除法一般不能对加法进行分配 |
十三、知识总结
加法
同号相加，符号不变，绝对值相加；异号相加，大减小，符号跟着绝对值大的数。
减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘除法
同号得正，异号得负；多个数相乘时，奇负得负，偶负得正，有零得零。
乘方
负数奇次幂为负，偶次幂为正；底数是否带负号，要看括号。
混合运算
先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号；同级运算从左到右。
十四、巩固练习
基础题
1. 计算：(−7) + 12
答案：5
2. 计算：8 − (−5)
答案：13
3. 计算：(−4) × (−6)
答案：24
4. 计算：18 ÷ (−3)
答案：−6
5. 计算：(−2)⁵
答案：−32
综合题
6. 计算：−5 + 3 − 7 + 9
答案：0
7. 计算：24 ÷ (−6) × 3
答案：−12
8. 计算：−3² + (−2)³
答案：−17
9. 计算：25 × (−7) + 25 × 3
答案：−100。可提取公因数25：25 × (−7 + 3)。
10. 计算：[6 − (−2)] ÷ (−4)
答案：−2
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